小学小学数学容斥原理

    容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。当然今天我们一起来聊聊容斥原理中的最值问题。“最值问题”故名思意就是求最大最小的问题。

    那么最值问题，汪老师就针对一道题目来具体说说其中的方法，以及这类型的题目的大致解题思路。

【例题】某数学邀请赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。在这次决赛中至少有____得满分。

【解析】方法一：因为总人数固定，最对的题的总数也确定，所以当每个人都做对3道题时得满分的人最少，有136+125+118+104-160*3=3(人)。

方法二：做错第一题的有160-136=24人；做错第二题的有160-125=35人；做错第三题的有160-118=42人；做错第四题的有160-104=56人。那么当做错题的人都恰好都只错了1题时，有做错题的人最多，也就是说最全对的人最少，即160-（24+35+42+56）=3人。

方法三：作图法，孩子是比较喜欢的，对于思维的理解需求不是那么高，孩子比较容易掌握。

    上图的意思是：虚线代表每题做错的人数，实线代表每题做对的人数，每一次都尽可能地少重复。第1题是从头开始画，最后有24人是做错这道题的；接着画第2题，这时我们就抓住每次都尽可能少重复，所以从后往前画，先让第1题做错的人，去做对第2题，这样的话同时做对第1题和第2题的人数最少有125-24=101人，这样依次类推，每次尽量少重叠。最后得出只有3人全部做对。

上面就是对于这道题的3种解法，如果孩子理解能力比较强，那么前两种作法都是相对比较简单的，但是前两种作法并不通用，第三种方法是比较容易解题，而且是比较通用的方法，这类型的题目都可以通过画图来解决。

下面老师给出两道题让孩子练练手，就可以知道了：

【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

【巩固】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？

最后还是希望孩子们能够从中有所收获，孩子们加油！

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