2021上海高考数学复习：裂项相消万能公式

　　裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解(裂项)倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

　　1、裂项相消的公式

　　1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

　　1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

　　1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　n·n!=(n+1)!-n!

　　2、裂项法求和

　　(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]

　　(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

　　(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　(5) n·n!=(n+1)!-n!

　　(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

　　(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n

　　(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]

　　3、数列求和的常用方法

　　1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

　　2、错位相减法求和：如an=n·2^n

　　3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

　　4、倒序相加法求和：如an= n

　　5、求数列的最大、最小项的方法：

　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

　　② (an>0) 如an=

　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

　　6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

　　(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.

　　(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

　　7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。