2021上海高二备战新学期：勾股定理的证明方法

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　　最常见的勾股定理证明方法是欧几里得证明，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明。如图，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等，即

　　在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS)

　　三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半，如。

　　任意一个正方形的面积等于其两边长的乘积。

　　任意一个矩形的面积等于其两边长的乘积。

　　证明的方法如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

　　其边为BC、AB和CA，依序绘成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上图，

　　画出过点A与BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

　　分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

　　∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

　　∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

　　因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

　　因为A、K和L在同一直线上，所以四边形面积。

　　因为C、A和G在同一直线上，所以正方形面积。

　　因此=AB²。

　　同理可证，=AC²。

　　把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

　　由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

　　由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。